Sucesión matemática

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Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Índice

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición formal

Una sucesión finita (a_k) (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

f:\{1,2,\ldots,r\}\to S.

y en este caso el elemento a_k corresponde a f(k).

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

  2,3, 5, 7

corresponde a la función f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P} (donde \mathbb{P} es el conjunto de números primos) definida por:

f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=7.

Una sucesión infinita (a_k) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

f:\N\to S.

en donde, de forma análoga, a_k corresponde a f(k).

Notación

Notaremos por \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos \left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde el subíndice {n\in \mathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Notación

Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se puede usar la notación (a_n) para indicar una sucesión, en donde a_n hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.

Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por (p_n):

(p_n)=2,4,6,8,10,12,...

entonces

p_1 =2, p_2=4, p_3=6, p_4=8,\ldots.

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior (p_n) puede especificarse mediante la fórmula p_n=2n.

No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:

  • \{ a_n \} =a_1,a_2,a_3,\ldots
  • ( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m
  • \{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,

Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numerico, así por ejemplo:

    \begin{matrix}       a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\          & n          & \to & a_n    \end{matrix}

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.

Si la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :

    \begin{matrix}       a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\          & n          & \to & a_n    \end{matrix}

En cualquier caso se denota simplemente como \left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como \left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de a_{}^{} fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo \scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...

Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de a_0, \; a_1,\; ... \; ,\; a_n, podemos definir el término general de forma inductiva como a_{i+1} = f(a_{i-n}, \; ... \; , a_i) , \; i \ge n como por ejemplo con la ecuación en recurrencias a_{i+1} = b_0 a_{i-n} + \; ... \; + b_n a_i  + c_n , \; i \ge n, \; b_0, \; ... \; , \; b_n, \; c_n \in \mathbb{R} .

Véase también

Referencias

  1. A.Bouvier,Diccionario de matemáticas(1979)

Bibliografía

  • Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684. 

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