Lugar 4: Alturas y ortocentro

La siguiente aplicación escanea los puntos del plano asignando un color a cada uno. Ese color dependerá de lo pequeña que sea la distancia de cada punto a la perpendicular a cada lado por el vértice opuesto. Las zonas rojas, verdes y azules muestran un equilibrio (diferencia cero) entre las distancias a dos de esos lados. Donde se encuentren estará el punto en donde se encuentran las tres perpendiculares: el ortocentro.

Selecciona el punto verde y después mantén pulsada la tecla +.

Dado un triángulo ABC, el ortocentro H es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo. Los pies de esas tres alturas, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados opuestos, son los vértices de un triángulo que se denomina triángulo órtico. También veremos la relación entre el ortocentro y el triángulo antimedial.

En la parte izquierda dispones de herramientas que te permiten construir directamente las alturas, el ortocentro, los vértices del triángulo órtico y el triángulo antimedial. En la parte derecha, dispones de las herramientas de GeoGebra para construir esos mismos lugares geométricos.

Preguntas

1. Construye las tres alturas del triángulo. Escribe una definición de "altura" de un triángulo.

2. Construye el punto de concurrencia de esas tres rectas (ortocentro).

3. ¿Cómo ha de ser el triángulo ABC para que el ortocentro se sitúe en uno de sus lados? Cuando eso suceda, ¿con qué punto coincide el ortocentro? ¿Por qué?

4. ¿Cómo ha de ser el triángulo ABC para que el ortocentro se sitúe en su exterior? ¿Por qué?

5. Construye el triángulo antimedial de ABC. Se llama así al triángulo que tiene a ABC como triángulo medial. Para construirlo, basta con trazar paralelas por los vértices a los lados opuestos. Estas tres paralelas formararán el triángulo antimedial A'B'C' (A' opuesto a A, B' opuesto a B y C' opuesto a C). ¿Por qué esta construcción hace que el triángulo ABC sea el triángulo medial de A'B'C', es decir, por qué los puntos A, B y C son los puntos medios de los lados de A'B'C'?

6. La concurrencia de las tres alturas en un mismo punto, el ortocentro, no es algo casual sino que podemos demostrar que ha de ser así. Para ello, basta darse cuenta que las alturas de ABC coinciden con las mediatrices del triángulo antimedial A'B'C' (¿por qué?), y estas concurren en el circuncentro de A'B'C'. Es decir, el ortocentro de un triángulo coincide con el circuncentro de su triángulo antimedial.

7. Los pies de las alturas del triángulo ABC son los vértices de un nuevo triángulo, el triángulo órtico. Comprueba que las bisectrices interiores del triángulo órtico coinciden con las alturas del triángulo ABC. Entonces, ¿con qué punto coincide el incentro del triángulo órtico?